Obsah
- Násobek
- Dělitel
- Dělitelnost součtu, rozdílu a součinu
- Znaky dělitelnosti
- Prvočísla a čísla složená
- Rozklad složených čísel na prvočinitele
- Společný dělitel
- Soudělná a nesoudělná čísla
- Společný násobek
- Úlohy
- Výsledky
Násobek
- Součin dvou čísel je násobkem každého z těchto čísel.
- Např. 14 je násobkem 7 a 2 (7 * 2 = 14) a zároveň je i násobkem 1 a 14 (1 * 14 = 14)
Dělitel
- Pokud dělení a:b vyjde beze zbytku, je číslo a násobkem čísla b, pokud toto dělení vyjde se zbytkem, není číslo a násobkem čísla b.
- Např. 27 je násobkem čísla 3, protože: 27 : 3 = 9
- Např. 28 není násobkem čísla 3, protože: 28 : 3 = 9 (zb. 1)
- Pokud dělení a:b vychází beze zbytku, pak číslo a je dělitelné číslem b.
- Např. číslo 10 je dělitelné čísly 1, 2, 5 a 10
- Číslo b je dělitelem čísla a, pokud podíl a:b je celé číslo.
- Dělenec : dělitel = podíl
- Např.: 8 (dělenec) : 2 (dělitel) = 4 (podíl) 8:2=4
- Např. čísla 1, 2, 4 a 8 jsou dělitelé čísla 8, ale 3 není dělitelem čísla 8
- Symbolický zápis dělitelů: Dx = {a, b, c}
- Např. D8 = {1, 2, 4, 8}
- Dělitelé se řadí od nejmenšího po největší kvůli přehlednosti.
- Každé číslo má 2 samozřejmé dělitele – 1 a samo sebe.
- Nejmenší dělitel všech čísel je 1.
- Jak najít všechny dělitele:
- Číslo dělíme 2, 3, 4 …, a pokud vyjde číslo beze zbytku, patří dané číslo mezi dělitele (viz. výše).
- Nemusíme číslo dělit všemi čísly, stačí jich nalézt polovinu a druhou polovinu čísel najdeme, když původní číslo nalezenými děliteli vydělíme.
- Např. máme číslo 36. Jeho dělitelé jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Stačí, když zjistíme dělitele po 6, protože 6 * 6 = 36, další dělitelé jsou již v „druhé“ polovině, takže stačí je vypočítat: 36 : 2 = 18, 36 : 3 = 12, 36 : 4 = 9 atd. Abychom zjistili, kde vlastně "končí" první polovina dělitelů, musíme dělenec odmocnit: √36 = 6.
Dělitelnost součtu, rozdílu a součinu
- Jestliže jsou všechny sčítance dělitelné daným číslem, je tímto číslem dělitelný i jejich součet. To samé platí i u rozdílu.
- Např.:
- Např.: Vysvětlete, proč je součet 30 + 100 + 22 + 40 + 18 + 40 + 80 dělitelný deseti.
- Mezi sčítanci nejsou dva dělitelné deseti: 22 a 18. Jejich součet je 40, což je dělitelné deseti, takže i celý součet je dělitelný deseti.
- Je-li ze dvou sčítanců dělitelný daným číslem pouze jeden, není tímto číslem dělitelný součet. To samé platí i u rozdílu.
- Je-li v součinu několika čísel alespoň jeden z činitelů dělitelný daným číslem, pak je tímto číslem dělitelný i celý součin.
Znaky dělitelnosti
- Ciferný součet čísla – číslo, které vznikne sečtením všech jeho číslic.
- Např.: Máme číslo 17 802. Jeho ciferný součet je: 1 + 7 + 8 + 0 + 2 = 18.
- 2 – číslo je dělitelné dvěma, pokud má na místě jednotek číslice 0, 2, 4, 6 nebo 8 (je sudé).
- 12 😊 15 ☹
- 3 – číslo je dělitelné třemi, pokud je jeho ciferný součet dělitelný třemi.
- Ciferný součet je číslo, které vznikne sečtením všech číslic daného čísla.
- 465 4 + 6 + 5 = 15 😊 523 5 + 2 + 3 = 10 ☹
- 4 – číslo je dělitelní čtyřmi, pokud je poslední dvojčíslí čísla dělitelné čtyřmi.
- 116 16 / 4 = 4 😊 118 18 / 4 = 4 (zb. 2) ☹
- 5 – číslo je dělitelné pěti, pokud má na místě jednotek číslice 0 nebo 5.
- 85 😊 93 ☹
- 6 – číslo je dělitelné šesti, pokud je dělitelné 2 a zároveň i 3.
- 54 4 / 2 = 2 5 + 4 = 9 9 / 3 = 3 😊 63 3 / 2 = 1 (zb. 1) 6 + 3 = 9 9 / 3 = 3 ☹
- 7 – číslo je dělitelné sedmi, pokud rozdíl lichých a sudých trojic číslic je dělitelný 7.
- 489 251 469 489 + 469 – 251 = 707 707 / 7 = 101 😊
- 7 125 369 7 + 369 – 125 = 251 251 / 7 = 35 (zb. 6) ☹
- 8 – číslo je dělitelné osmi, pokud je poslední trojčíslí dělitelné osmi.
- 1 856 856 / 8 = 107 😊 350 350 / 8 = 43 (zb. 6) ☹
- 9 – číslo je dělitelné devíti, pokud je jeho ciferný součet dělitelný devíti.
- Ciferný součet je číslo, které vznikne sečtením všech číslic daného čísla.
- 5679 5 + 6 + 7 + 9 = 27 27 / 9 = 3 😊 3971 3 + 9 + 7 + 1 = 20 20 / 9 = 2 (zb. 2) ☹
- 10 – číslo je dělitelné deseti, pokud má na místě jednotek číslici 0.
- 90 😊 53 ☹
- 12 – číslo je dělitelné dvanácti, pokud je dělitelné 3 a zároveň 4.
- 3588 3 + 5 + 8 + 8 = 24 24 / 3 = 8 88 / 4 = 22 😊
- 5 247 5 + 2 + 4 + 7 = 18 18 / 3 = 6 47 / 4 = 11 (zb. 3) ☹
- 14 – číslo je dělitelné čtrnácti, pokud je dělitelné 2 a zároveň 7.
- 56 6 / 2 = 3 56 / 7 = 8 😊 94 4 / 2 = 2 94 / 7 = 13 (zb. 3) ☹
- 15 – číslo je dělitelné patnácti, pokud je dělitelné 3 a zároveň 5.
- 1260 1 + 2 + 6 = 9 9 / 3 = 3 0 / 5 = 0 😊 115 1 + 1 + 5 = 7 7 / 3 = 2 (zb. 1) 5 / 5 = 1 ☹
Prvočísla a čísla složená
- Prvočíslo je takové číslo, které je dělitelné samo sebou a 1, např. 3
- Nejmenší prvočíslo je 2, zároveň je to jediné sudé prvočíslo
- Prvočísla do 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
- Co dělat, když si nemůžeš vzpomenout na některé z prvočísel? Pokud máš dostatek času, udělej si „síto“:
- Napiš si všechna čísla od 2 do 100 (stačí do 97). Je jedno, jestli si to napíšeš do sloupců, řádků apod.
- Škrtni všechna sudá čísla kromě 2.
- Vedle 2 leží 3. Škrtni všechna čísla dělitelná třemi kromě 3.
- Dalším číslem (neškrtnutým) je 5. Škrtni všechna čísla dělitelná pěti kromě 5.
- Postupuj stejným způsobem dále. Mělo by ti postupně zbýt 7, 11, 13, 17, 19 atd., tedy všechna prvočísla do 100.
- Číslo složené je číslo, které má aspoň tři různé dělitele – 1, samo sebe a další číslo.
- Např. 6 je složené číslo, protože dělitelé čísla 6 jsou 1, 2, 3 a 6.
- Každé složené číslo lze zapsat jako součin prvočísel – rozklad čísla na prvočinitele.
Rozklad složených čísel na prvočinitele
- Pokud lze číslo dělit minimálně třemi děliteli, jedná se o složené číslo a jako takové lze rozložit na prvočinitele.
- Př. Máme číslo 48 a chceme jej rozložit na prvočinitele. Lze to udělat třemi způsoby:
- 48 = 6 * 8 6 = 2 * 3 8 = 2 * 4 4 = 2 * 2 à 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3
- Každý ze součinitelů rozkládáme tak dlouho, dokud nemáme pouze prvočísla.
- Všechna získaná prvočísla tvoří součinitele původního složeného čísla.
- 48 = 2 * 24 48 = 2 * 2 * 12 48 = 2 * 2 * 2 * 6 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3
- Složené číslo (48) se vydělí nejmenším možným prvočíslem (2) a postupně se takto dělí součinitelé (24, 12, …), kteří nejsou prvočísla, dokud nejsou mezi součiniteli pouze prvočísla.
- Vlevo je napsané složené číslo, vpravo jeho dělitel, kterým je jakékoliv prvočíslo, které dělí složené číslo beze zbytku. Složené číslo (48) se vydělí prvočíslem (2) a pod původní složené číslo (48) se napíše „nové“ složené číslo (24). Takto se postupuje do té doby, než je na straně složených čísel v posledním řádku 1. Podle mě se jedná o nejlepší a nejpřehlednější způsob, jak zjistit prvočinitele složeného čísla.
- Existují samozřejmě další způsoby, jak zjistit prvočinitele:
- Postupným rozkládáním: 48 = 4 * 12 = 2 * 2 * 3 * 4 = 2 * 2 * 3 * 2 * 2
- "Stromečkový" způsob:
Společný dělitel
- Společný dělitel vybraných čísel je číslo, které všechna vybraná čísla dokáže dělit.
- Např. společnými děliteli 15 a 21 jsou 1 a 3
- Největší společný dělitel daných čísel je číslo, které je ze společných dělitelů nejvyšší.
- Např. máme čísla 16, 24 a 32. Společnými děliteli jsou 1, 2, 4 a 8, přičemž 8 je největší společný dělitel. D (16, 24, 32) = 8.
- Jak co nejjednodušeji a nejrychleji zjistit největšího společného dělitele? Jak jinak než jednoduše:
- Nejprve každé z vybraných čísel rozložíme na prvočinitele (viz. výše).
- Poté se podíváme na prvočinitele a určíme, kteří jsou stejní pro všechna vybraná čísla. Stejné prvočinitele mezi sebou vynásobíme a dostaneme tak nejvyšší společný dělitel.
- POZOR! Pokud se mezi prvočiniteli nachází stejný prvočinitel víckrát, např. je zde dvojka třikrát, pak se všechny dvojky mezi sebou vynásobí. V tomto případě by nejvyšší společný dělitel byla osmička.
- V podstatě se vybírají nejnižší mocniny stejných prvočinitelů.
- Např. 6 = 21 * 3 a 8 = 23, pak největší společný dělitel je 2 (21).
- Pokud se stane, že se při rozkladu nevyskytují žádní stejní prvočinitelé u daných čísel, je největším společným dělitelem 1.
Soudělná a nesoudělná čísla
- Čísla nesoudělná jsou skupina čísel, jejímž největším společným dělitelem je 1. Naopak čísla soudělná mají největší společný dělitel větší než 1.
- Např. čísla 6 a 7 jsou nesoudělná, čísla 33 a 44 jsou čísla soudělná.
Společný násobek
- Společný násobek daných čísel je číslo, které je násobkem každého z daných čísel.
- Např. společné násobky čísel 3 a 7 jsou 21, 42, 63 ...
- Nejmenší společný násobek daných čísel je číslo, které je ze společných násobků nejmenší.
- Např. u čísel 6 a 8 je nejmenším společným násobkem číslo 24.
- Jak najít nejmenší společný násobek? Obdobně jako největší společný dělitel, akorát s jedním rozdílem: nevybírají se nejnižší mocniny stejných prvočinitelů, ale všichni prvočinitelé se mezi sebou násobí ve své nejvyšší mocnině.
- Např. 12 = 22 * 3 a 16 = 24, pak nejmenším společným násobkem je 24 * 3 = 48 a zapisuje se takto: n(12, 16) = 48.
- Pokud se hledá nejmenší společný násobek nesoudělných čísel, stačí mezi sebou daná čísla vynásobit.
- Pokud je jedno z daných čísel násobkem každého z nich, jedná se o nejmenší společný násobek.
Úlohy
1.1 Z následujících čísel vyberte všechny násobky čísla 5:
4, 15, 19, 20, 28, 290, 305, 312, 1 234, 12 345
1.2 Určete zpaměti:
a) Pětinásobek čísla 7
b) Desetinásobek čísla 9
c) Trojnásobek čísla m
d) Dvojnásobek čísla (m+n)
1.3 Zapište:
a) Číslo x je trojnásobkem čísla y
b) Číslo a je s-násobkem čísla 4
c) Číslo m je o-násobkem čísla n
1.4 Napište, kterými z čísel 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 je dělitelné číslo 27.
1.5 Vypište všechny dělitele čísla 12.
1.6 Doplňte slova dělitelem nebo násobkem tak, aby vytvořené věty byly pravdivé:
a) Číslo 8 je _____ 16.
b) Číslo 29 není _____ 6.
c) Číslo 3 není _____ 12.
d) Číslo 21 je _____ 7.
1.7 Určete samozřejmé dělitele čísel 25, 4*x, m*n.
1.8 Určete, která z čísel patří do prázdných míst:
a) D18 = {1, 2, 3, 6, __, __}
b) D32 = {1, 2, 4, __, __, __}
1.9 Určete:
a) D96
b) D33
1.10 Součet stonásobku čísla 202, čtyřicetinásobku čísla 50 a dvojnásobku čísla 11 je zajímavé číslo. Určete toto číslo.
1.11 Číslo 4 * a je násobkem čísel 4 i a. Napište předcházející násobek čísla a a následující násobek čísla 4.
1.12 Určete všechna dvojciferná čísla menší než 25, která mají pouze samozřejmé dělitele.
1.13 Vhodným rozkladem na součet nebo rozdíl zdůvodněte, že platí:
a) 676 je dělitelné 13
b) 231 je dělitelné 11
c) 1393 je dělitelné 7
d) 1881 je dělitelné 19
1.14 Rozložte na prvočinitele čísla 110, 80, 416 a 624.
1.15 Napište dvě čtyřciferná čísla tak, aby byla dělitelná čtyřmi, ale zároveň nebyla dělitelná osmi.
1.16 Rozložte na prvočinitele: 28, 32, 66, 72, 88, 106.
1. 17 Zapište pomocí odmocnin a vypočtěte: 2 * 2 * 2 * 5 * 7, 3 * 3 * 11, 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 13
1.18 Určete všechny společné dělitele a následně největšího společného dělitele.
a) 15, 16
b) 18, 21
c) 35, 49
d) 88, 132
1.19 Jedná se o čísla soudělná nebo nesoudělná? 21, 42, 90.
1. 20 Určete n(2, 4, 6), n(3, 5, 8), n(5, 7, 9), n(10, 15, 66), n(30, 33, 72).
Další příklady lze nalézt například zde.
Výsledky
1.1 15, 20, 290, 305, 12 345. 1.2 a) 35, b) 90, c) 3m, d) 2 (m + n). 1.3 a) x = 3 * y, b) a = s * 4, c) m = o * n. 1.4 3, 9. 1.5 D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. 1.6 a) dělitelem, b) dělitelem, c) násobkem, d) násobkem. 1.7 1, 25; 1, 4 * x; 1, m * n. 1.8 a) 9, 18, b) 8, 16, 32. 1.9 a) D96 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48, 96}, b) D66 = {1, 3, 6, 11, 33}. 1.10 22 222. 1.11 3 * a, 4 * (a + 1). 1.12 11, 13, 17, 19, 23. 1.13 a) 676 = 650 + 26, b) 231 = 220 + 11, c) 1393 = 1400 - 7, d) 1881 = 1900 - 19. 1.14 110 = 2 * 5 * 11, 80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5, 416 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 13, 624 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 13. 1.15 , 1020, 2028, 3004, 4012, ... 1.16 28 = 2 * 2 * 7, 32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2, 66 = 2 * 3 * 11, 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3, 88 = 2 * 2 * 2 * 11, 106 = 2 * 53, 1.17 2 * 2 * 2 * 5 * 7 = 23 * 5 * 7 = 280, 3 * 3 * 11 = 32 * 11 = 99, 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 23 * 32 * 5 = 360, 1.18 a) D(15, 16) = 1, b) D(18, 21) = 3, c) D(35, 49) = 7, d) D(88, 132) = 44, 1.19 Jsou to čísla soudělná, protože D(21, 42, 90) = 3, 1.20 n(2, 4, 6) = 12, n(3, 5, 8) = 120, n(5, 7, 9) = 315, n(10, 15, 66) = 330, n(30, 33, 72) = 3960
Žádné komentáře:
Okomentovat